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\newcommand{\pdfFrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
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\newcommand{\fl}{\mathrm{fl}}
\newcommand{\op}{\odot}
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\newcommand{\Erel}{E_{\mathrm{rel}}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead{}
\lhead{王家蔚}
\chead{有限元方法误差分析报告}
\rhead{2021/6/22}

\section{三角形剖分}
通过修改domain.d文件的参数，得到不同边长的三角形剖分信息，计算得到不同插值基函数与计算方式下，边长与L2误差之间的关系。特别值得说明的是，以下数值实验是基于程序求方程组
\begin{align*}
-\Delta u &= \sin{x}\sin{y} ,(x,y)\in \Omega \\
u(x,y) &= 2\sin{x}\sin{y} , (x,y) \in \partial \Omega\\
\Omega &= [1,2]\times[1,2]
\end{align*}
得到的数值解与精确解的L2误差。自变量边长是在domain.d文件里给出的，生成的剖分三角形边长与这个量有关，但不是严格遵守特定规律，所以这里是有偏差的，只能作为参考。
\subsection{ P1有限元}
\subsubsection{一般求解}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
边长& 误差 \\
\hline
0.025 & 5.5302e-09 \\
0.040 & 3.59554e-08\\
0.050 & 8.87091e-08 \\
0.075 & 4.17525e-07 \\
0.100 & 1.40672e-06\\
0.150 & 8.38164e-06\\
0.200 & 2.02352e-05\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
对边长和误差取log之后，可视化成图像的形式如下,可以看出该算法应该是三阶收敛的。
\begin{center}
\begin{figure}[!htb]
\includegraphics[scale=1.0]{figure/covgdegP1.png}
\end{figure}
\end{center}


\subsubsection{ 多重网格}


\subsection{ P2有限元}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
边长& 误差 \\
\hline
0.050 &4.54261e-04\\
0.075 & 5.45277e-04\\
0.100 & 5.99915e-04\\
0.150 & 6.37712e-04\\
0.200 & 7.32971e-04\\
0.250 & 9.20361e-04\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
虽然输出的图像与P1很相似，但是计算得到的L2误差甚至不如P1，可能

\begin{center}
\begin{figure}[!htb]
\includegraphics[scale=1.0]{figure/covgdegP2.png}
\end{figure}
\end{center}
\subsubsection{一般求解}




\subsubsection{多重网格}

\section{四边形剖分}

\subsection{P1有限元}

\subsubsection{一般求解}

\subsubsection{多重网格}


\subsection{P2有限元}

\subsubsection{一般求解}

\subsubsection{多重网格}


\end{document}

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%%% End: 
